MODÜLER ARİTMETİK 9 SINIF---MATEMETİK

MODÜLER ARİTMETİK

 

b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}

bir denklik bağıntısıdır

b denklik bağıntısı olduğundan

Her (a, b) Î b için,

a º b (mod m)

biçiminde yazýlýr ve m modülüne göre a sayýsý b ye denktir denir.

Ü

Tam sayýlarýn m sayma sayýsý ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar, 0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1) dir.

Her tam sayý m ile bölündüðünde hangi kalaný veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanlarýn her biri, belirlediði denklik sýnýfýnýn temsilci elemaný olarak alýnýrsa, denklik sýnýflarý

 

     

Bu denklik sýnýflarýnýn kümesine m nin kalan sýnýflarýnýn kümesi denir ve biçiminde gösterilir.

Buna göre,

     

Ü

n bir sayma sayýsý ve k bir tam sayý ve

      a º b (mod m)

      c º d (mod m)

olmak üzere,

  1. a + c º b + d (mod m)

  2. a – c º b – d (mod m)

  3. a × c º b × d (mod m)

  4. an º bn (mod m)

  5. a – b º 0 (mod m)

  6. k × a º k × b (mod m) dir.

  7. n sayma sayýsý; a, b, m sayýlarýnýn ortak böleni ise dir.

  8. a ile m ve b ile m aralarýnda asal olmak üzere, dir.

deki iþlemler (mod m) ye göre yapýlýr.

 

Ü

Ü x, m nin tam katý olmayan pozitif bir tam sayý ve m bir asal sayý ise,

      xm–1 º 1 (mod m) dir.

x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir.

Ü

x ile m aralarýnda asal sayýlar olmak üzere, m nin asal çarpanlarýnýn kuvvetleri biçiminde yazýlmýþ hâli m = ak . b r . c p olmak üzere,

 

 

m asal sayý ise,

      (m – 1)! + 1 º 0 (mod m) dir.

 
9. sınıf matematik konuları, 9.sınıf matematık müfredatı özeti, lise 1 matematik müfredat programı, 9.sınıfta işlenen matematik dersi konuları21/9/2009 · Kategori: Matematik konu anlatımı

ORTA ÖĞRETİM MATEMATİK DERSİ
9. SINIF ÖĞRETİM PROGRAMI



MANTIK

1. BÖLÜM: MANTIK
aLT öĞRENME aLANLARI ve kazanımlar
Önermeler

1.Terimi, tanımlı ve tanımsız terimleri örneklerle açıklar.
2.Önermeyi, önermenin doğruluk değerini, iki önermenin denkliğini ve önermenin olumsuzunu açıklar.

Bileşik Önermeler

1.Bileşik önermeyi açıklar; ve, veya bağlaçları ile kurulan bileşik önermelerin özelliklerini ve De Morgan kurallarını doğruluk tablosu kullanarak gösterir.
2.Koşullu önermeyi açıklar; koşullu önermenin karşıtını, tersini, karşıt tersini yazar ve doğruluk tablosu kullanarak denk olanları gösterir.
3.İki yönlü koşullu önermeyi açıklar, iki yönlü koşullu önerme ile koşullu önermeler arasındaki ilişkiyi belirtir.
4.Bağlaçların özelliklerini kullanarak verilen bileşik önermelere denk basit önermeleri bulur.
5.Totoloji ve çelişkiyi örneklerle açıklar.

Açık Önermeler

1.Açık önermeyi ve doğruluk kümesini açıklar.

2.Her ve bazı niceleyicilerini örneklerle açıklar, bu niceleyicileri içeren önerme ve bileşik önermelerin olumsuzunu yazar.


İspat Yöntemleri


1.Tanım, aksiyom, teorem ve ispat kavramlarını açıklar, bir teoremin hipotezini ve hükmünü belirtir.
2.İspat yöntemlerini kullanarak basit ispatlar yapar.


CEBİR


2. BÖLÜM: KÜMELER
aLT öĞRENME aLANLARI ve kazanımlar

Kümelerde Temel Kavramlar
1.Kümeleri liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir.
2.Sonlu, sonsuz ve boş kümeyi örneklerle açıklar.
3.Bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısını ve belirli sayıda eleman içeren alt kümelerinin sayısını hesaplar.
4.İki kümenin denkliğini ve eşitliğini belirtir.

Kümelerde İşlemler

1.Sonlu sayıdaki kümelerin birleşim ve kesişim işlemlerinin özelliklerini gösterir.
2.İki veya üç kümenin birleşiminin eleman sayısını belirler.
3.Evrensel kümeyi ve bir kümenin tümleyenini açıklar, tümleme işleminin özelliklerini ve De Morgan kurallarını gösterir.
4.İki kümenin farkını açıklar, fark işleminin özelliklerini gösterir.
5.Kümelerdeki işlemleri kullanarak problemler çözer.


3. BÖLÜM: BAĞINTI, FONKSİYON VE İŞLEM

aLT öĞRENME aLANLARI ve kazanımlar

Kartezyen Çarpım
1.Sıralı ikililerin eşitliğini örneklerle açıklar.
2.İki kümenin kartezyen çarpımını açıklar, kartezyen çarpımın özelliklerini belirtir.

Bağıntı
1.Bir bağıntıyı şema ile gösterir ve bağıntının grafiğini çizer.
2.Bir bağıntının tersini bulur ve grafiğini çizer.
3.Bağıntının yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerini örneklerle açıklar.

Fonksiyon


1.Fonksiyonu şema ile göstererek fonksiyonun tanım, değer ve görüntü kümelerini belirtir.
2.Grafiği verilen bağıntılardan fonksiyon olanların tanım ve görüntü kümelerini belirler.
3.Bire bir fonksiyonu, örten fonksiyonu, içine fonksiyonu, özdeşlik (birim) fonksiyonunu, sabit fonksiyonu ve doğrusal fonksiyonu açıklar.

İşlem


1.İkili işlemi ve ikili işlemin özelliklerini açıklar.


Fonksiyonlarda İşlemler


1.Bileşke fonksiyonu örneklerle açıklar, bileşke işleminin birleşme özelliğini göstererek birim elemanını belirtir.
2.Bir fonksiyonun bileşke işlemine göre tersini bulur, grafiği verilen fonksiyonun tersinin grafiğini çizer.
3.Grafiği verilen bir fonksiyonun bazı değerlerini hesaplar.
4.Gerçek sayılar kümesinde tanımlı, f ve g fonksiyonlarından elde edilen f + g , f - g , f . g ve f / g fonksiyonlarını bulur.
5.Sonlu bir kümenin tüm permütasyonlarını belirleyerek iki permütasyonun bileşkesini ve bir permütasyonun tersini bulur.


4. BÖLÜM: SAYILAR
aLT öĞRENME aLANLARI ve kazanımlar


Rasyonel Sayılar

1.Rasyonel sayıları ifade eder ve rasyonel sayıların eşitliğini açıklar.
2.Rasyonel sayılar kümesinde toplama, çıkarma, çapma ve bölme işlemleri yaparak toplama ve çapma işlemlerinin özelliklerini belirtir.
3.İkiden fazla rasyonel sayıyı bir eşitsizlik zinciri içinde sıralar ve bu sayıları sayı doğrusunda gösterir.
4.İki rasyonel sayı arasında başka bir rasyonel sayı bularak rasyonel sayılar kümesinin yoğun olduğunu belirtir.
5.Rasyonel sayıların ondalık açılımını yapar.

Gerçek Sayılar


1.Rasyonel olmayan sayıların (irrasyonel sayıların) varlığını belirtir.
2.Gerçek sayılar kümesinde toplama ve çarpma işlemlerinin özelliklerini belirtir.
3.Gerçek sayılarda eşitsizliğin özelliklerini belirtir.
4.Gerçek sayılar kümesinde açık, kapalı ve yarı açık aralıkları ifade eder.
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini değişik sayı kümelerinde bulur

Mutlak Değer

1.Bir gerçek sayının mutlak değerini açıklar veösteridermail.comtme gereğini aardımıylalik özelliklerini kuldoğal sayıyı asal çarpanlarına ayırırelliklerini bilir. mutlak değer ile ilgili özellikleri belirtir.
2.Birinci dereceden bir bilinmeyenli bir veya iki mutlak değerli terim içeren denklemlerin ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur.
österidermail.comtme gereğini aardımıylalik özelliklerini kuldoğal sayıyı asal çarpanlarına ayırırelliklerini bilir.
Üslü Sayılar


1.Bir gerçek sayının pozitif tam sayı ve negatif tam sayı kuvvetini açıklar ve üslü sayılara ait özellikleri gösterir.
2.Üslü sayıların eşitliğini ifade eder ve üslü sayılarla ilgili uygulamalar yapar.


Köklü Sayılar


1.Negatif olmayan bir gerçek sayının karekökünü ve üslü biçimini açıklayarak kareköklü sayılara ait özellikleri belirtir ve kareköklü sayılarla ilgili uygulamalar yapar.
2.Bir gerçek sayının pozitif tam kuvvetten kökünü ve üslü biçimini açıklayarak köklü sayılara ait özellikleri, üslü sayıların özelliklerinden yararlanarak gösterir ve köklü sayılarla ilgili uygulamalar yapar.


Problemler


1.Oran ve orantı, yüzde ve faiz, hareket vb. günlük hayatla ilgili problemleri çözer.


 

Geometri lise konu anlatımı üçgenlerde benzerlik konusu Benzer Üçgenler, Açı - Açı Benzerlik Teoremi, Kenar - Açı - Kenar Benzerlik Teoremi, Kenar - Kenar - Kenar Benzerlik Teoremi, Temel Benzerlik Teoremi, Benzerlik Özellikleri,22/2/2009 · Kategori: Matematik konu anlatımı

1. Benzer Üçgenler
Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir.

ABC ve DEF üçgenleri için;
oranı yazılır Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve
ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.
eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik oranı yada benzerlik

katsayısı denir.

  • k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere eş üçgenler denir.
ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.

2. Açı - Açı Benzerlik Teoremi
Karşılıklı ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir.
şekilde verilen üçgenlerde

İkişer açıları eş olduğundan, üçüncü açıları da eş olmak zorundadır. Dolayısıyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.
m(C)=m(F)


3. Kenar - Açı - Kenar Benzerlik Teoremi
İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise, üçgenler benzerdir.
ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların kenarları da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.
BAC açısının kısa kenarının EDF açısının kısa kenarına oranı, BAC açısının uzun kenarının EDF açısının uzun kenarına oranına eşittir.

4. Kenar - Kenar - Kenar Benzerlik Teoremi
İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.
Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir.
m(A) = m(D),
m(B) = m(E),
m(C) = m(F)

5. Temel Benzerlik Teoremi
ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeş açılar eş
olacağından ADE ~ ABC dir.

  • Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları 1birime 2 birim oranında böler. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [KL] // [BC]
    |AK|=2|KB|
    |AL|=2|LC|
6. Tales Teoremi
Paralel doğrular kendilerini kesen doğruları aynı oranda
bölerler. d1 // d2 // d3 doğruları için
Buradan de elde edilir
  • [AB] // [DE] ise oluşan içters açıların eşitliğinden, ABC ~ EDC olur. Buradan,
    eşitliği elde edilir. Buna kelebek benzerliği de denir.
7. Benzerlik Özellikleri
Benzer üçgenlerin açıları karşılıklı olarak eş, diğer bütün elemanları orantılıdır.
ABC ~ DEF Û Burada k ya benzerlik oranı denir.
a. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin oranı benzerlik oranına eşittir. b. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenar-ortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir. c. Benzer üçgenlerde eş açılara ait açıortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir. d. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlik oranına eşittir. e. ABC üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rABC ve çevrel çemberin yarıçapı RABC , DEF üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rDEF ve çevrel çemberin yarıçapı RDEF olsun.
f. Alanlar oranı
Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir.

g. Benzerlik oranı k = 1 olan üçgenler eş üçgenlerdir.
  • Kenarları eşit aralıklı paralellerle bölünmüş olan üçgenlerde alanlar 1, 3, 5, 7 � gibi tek sayılarla orantılı olarak artar.
  • [AB] // [EF] // [DC] benzerlik özelliklerinden,

|AB|.|FC|=|DC|.|BF|
8. Özel Teoremler
a. Menelaüs
ABC üçgeni KM doğru parçası ile şekildeki gibi kesiliyor ise
b. Seva
ABC üçgeni içerisinde alınan bir P noktası için,
__________________

 

Lise geometri konu anlatımı, geometride yamuk nedir, Yamukta açılar, Yamuğun Alanı nasıl hesaplanır, İkizkenar Yamuk, Dik Yamuk, Yamukta Orta Taban, Yamukta Köşegenlerin Ayırdığı Parçaların Alanı 22/2/2009 · Kategori: Matematik konu anlatımı

Yamuk Alt ve üst kenarları paralel olan dörtgenlere yamuk denir.
Şekildeki ABCD yamuğunda [AB] // [DC] dir.
 
1. Yamukta açılar
[AB] // [DC] olduğundan
x + y = 180°
a + b = 180°

  • Karşılıklı iki kenarı paralel olan dörtgenlerde açıortay verilmiş ise ikizkenar üçgen elde edebileceğimiz gibi, ikizkenarlık verilmiş ise de açıortay elde ederiz.

2. Yamuğun Alanı
ABCD yamuğunda paralelkenarlar arasındaki uzaklığa yamuğun yüksekliği denir. Alt tabanı |DC| = a,
üst tabanı |AB| = c
yüksekliği |AH| = h
ABCD yamuğunun alanı

3. İkizkenar Yamuk
Paralel olmayan kenarları eşit olan yamuklara ikizkenar yamuk denir.
a. İkizkenar yamukta taban ve tepe açıları kendi aralarında eşittir.
m(A) = m(B) = y
m(D) = m(C) = x

b. İkizkenar yamukta köşegen uzunlukları eşittir. Köşegenlerin kesiştiği noktaya E dersek
|AE| = |EB|
|DE| = |CE|
  • Köşegen uzunlukları birbirine eşit olan her yamuk ikizkenardır.

c. İkizkenar yamukta üst köşelerden alt tabana dikler çizilmesiyle ADK ve BCL eş dik üçgenleri oluşur. |DC| = a
|KL| = c

 
4. Dik Yamuk
Kenarlarından biri alt ve üst tabana dik olan yamuğa dik yamuk denir.
|AD| = h aynı zamanda yamuğun yüksekliğidir.
 
5. Yamukta Orta Taban
a. ABCD yamuğunda E ve F kenarların orta noktaları ise EL doğrusuna orta taban denir.
[AB] // [EF] // [DC]

Yamuğun alanı
olduğundan A(ABCD)=Orta taban x Yükseklik b. Yamukta köşegenin orta tabanda ayırdığı parçalar

  • ABCD yamuğunda EF orta taban


6. Yamuğun köşegenlerinin kesim noktasından tabanlara çizilen paralel;
ABCD yamuğunda L köşegenlerin kesim noktasıdır.
[AB] // [MN] // [DC]

 
7. Kenar Uzunlukları Bilenen Yamuk
Bir ABCD yamuğunun kenar uzunlukları biliniyor ise kenarlardan birine paralel çizilerek bir paralelkenar ve bir üçgen oluşturulur. 8. Köşegenleri Dik Kesişen Dik Yamuk
ABCD dik yamuğunda
[AC] ^ [BD] BD ye paralel çizildiğinde oluşan dik üçgende
h2=a.c
9. Köşegenleri Dik Kesişen İkizkenar Yamuk
ABCD yamuğunda
|AD| = |BC|
[AC] ^ [BD]
yamuğun yüksekliği


10. Yamukta Köşegenlerin Ayırdığı Parçaların Alanı Herhangi bir yamukta köşegenler çizildiğinde
[AB] // [DC]

A(ABCD)=A(BCE)=S


Bir yamukta alt ve üst iki köşenin, karşı kenarın orta noktası ile birleştirilmesi sonucu oluşan alan yamuğun
alanının yarısına eşittir.
|BE| = |EC|
A(ABCD) = 2A(ADE)
l [AB] // [EF] // [DC], |AB| = a
|EF| = b
|DC| = c
A(ABFE) = S2
A(EFCD) = S1

Lise geometri dersi konuları dairenin çevresi ve alanı ders anlatımı, dairenin çevresi ve alanı nasıl hesaplanır, Daire Diliminin Alanı ve Yay Parçasının Uzunluğu, Daire Kesmesinin Alanı, Daire Halkasının Alanı, Çemberde Benzerlik, Çemberde Benzerlik22/2/2009 · Kategori: Matematik konu anlatımı

O merkezli ve r yarıçaplı bir dairede
Dairenin Alanı = pr2

Dairenin Çevresi = 2pr
 
2. Daire Diliminin Alanı ve Yay Parçasının Uzunluğu
O merkezli dairede m(AOB) = a olacak şekilde taralı dairediliminin alanı,



3. Daire Kesmesinin Alanı

O merkezli dairede taralı alan, daire diliminin alanından
BOA üçgeninin alanının çıkarılması ile bulunur.




4. Daire Halkasının Alanı

O merkezli r1 ve r2 yarıçaplı çemberler arasında k dairenin alanının çıkarılması ile bulunur.
Taralı Alan = pr22pr12
p ortak parantezinde
Taralı Alan =p(r22-r12)

5. Çemberde Benzerlik
Bütün çemberler benzer olduğundan eş açılı yaylarda benzerdir. Üçgenlerdeki benzerlik özelliklerini yaylarda da kullanabiliriz.
şekildeki O merkezli AB, CD ve EF çember yayları veriliyor.
Üçgenlerde geçerli olan tüm benzerlik özellikleri burada da
geçerlidir.

Alanlar S, 3S, 5S sırasıyla orantılıdır.

  • Aynı merkezli daire dilimleri arasında kalan alan, yamuğun alanına denktir.
h = r2 – r1

6. Teğet Çemberlerde Benzerlik
BTC açısı ortak açı olduğundan AT ve BT yaylarının ölçüleri eşittir.
Ölçüleri eşit yaylar benzer olduğundan



__________________

 

  • O merkezli ve r yarıçaplı daire diliminde yay uzunluğuna
|AB| = l dersek


Lise geometri dersi ÜÇGENDE AÇIORTAY BAĞINTILARI dersi ders konusu anlatımı Açıortay nedir, ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞıNTILARI, Kenarortay Uzunluğu nedir, Dik Üçgende Kenarortaylar22/2/2009 · Kategori: Matematik konu anlatımı


  • ÜÇGENDE AÇIORTAY BAĞINTILARI
1. Açıortay nedir
Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışınlara açıortay denir.
Yandaki şekilde AOB açısını iki eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay denir.
Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzunluklar eşittir.
AOB bir açı,
[OC açıortay
m(AOC) = m(COB)
|AC| = |CB| AOC ve BOC eş
üçgenler olduğundan
|OA| = |OB|
2. İç Açıortay Bağıntısı nedir
ABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve ANC üçgenlerinin
[BC] tabanına göre, yükseklikleri eşit olduğundan
olur .....(1)
ABN üçgeninde [AB] kenarına ait yükseklik ANC üçgeninde [AC] kenarına ait yüksekliğe eşittir.
olur .....(2) [AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den
olur
ABC üçgeninde [AN] açıortay olmak şartıyla
Buradan ve b.y=c.x eşitlikleri de elde edilir. 3. İç Açıortay Uzunluğu nedir
ABC üçgeninde A köşesinden çizdiğimiz açıortay
uzunluğuna nA dersek
4. Dış Açıortay Bağıntısı nedir
ABC üçgeninde [AD], A köşesine ait dış açıortaydır.

Yorum Yaz